Lösungen Zu Den Übungsaufgaben

. () Angenommen, es gibt a 6= b ∈ A mit g(f(a)) = g(f(b)). Da f injektiv ist, gilt f(a) 6= f(b). Dann muss aber auch g(f(a)) 6= g(f(b)) gelten, da g injektiv ist. () und () folgen analog. () Würde es f(a) = f(b) für a 6= b ∈ A gelten, so sollte auch g(f(a)) = g(f(b)) gelten, ein Widerspruch zu der Injektivität von g ◦ f . () und () folgen analog. Beispiel: Wir betrachten die Mengen A = C = {a}, B = {a, b} und die Abbildungen {a} f → {a, b} g → {a} mit f(a) = a und g(a) = g(b) = a. Dann ist g ◦ f bijektiv, da g(f(a)) = g(a) = a gilt. Aber f ist nicht surjektiv, da b nicht im Bildbereich von f liegt, und g ist nicht injektiv, da g(a) = g(b) gilt.